mathematica在线性代数中的应用

定义矩阵

在mathematica软件中，矩阵用表来表示

A = {{2, 1, -5, 1}, {1, -3, 0, -6}, {0, 2, -1, 2}, {1, 4, -7, 6}} 
B = {{1, 2}, {-1, 0}, {2, 3}} 

分别表示矩阵:

$$ \left(\begin{array}{cccc} 2 & 1 & -5 & 1 \\ 1 & -3 & 0 & -6 \\ 0 & 2 & -1 & 2 \\ 1 & 4 & -7 & 6 \end{array}\right) $$

$$ \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ -1 & 0 \\ 2 & 3 \\ \end{array} \right) $$

矩阵基本运算

• 计算行列式用Det函数
• 求矩阵的方幂用^符号
• 计算矩阵的转置用Transpose函数
• 矩阵乘积用.符号
• 以矩阵形式输出结果用MatrixForm函数

例子

Det[A]
A^4 // MatrixForm
B.Transpose[B] // MatrixForm

计算输出为
27

$$ \left(\begin{array}{cccc} 16 & 1 & 625 & 1 \\ 1 & 81 & 0 & 1296 \\ 0 & 16 & 1 & 16 \\ 1 & 256 & 2401 & 1296 \end{array}\right) $$

$$ \left(\begin{array}{ccc} 5 & -1 & 8 \\ -1 & 1 & -2 \\ 8 & -2 & 13 \end{array}\right) $$

对系数矩阵行变换化阶梯形

用 RowReduce 函数对矩阵行变换化阶梯形

例

对线性方程组的增广矩阵行变化化阶梯形

$$ \left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}-{{x}_{2}}-{{x}_{3}}-3{{x}_{4}}=-2 \\ & {{x}_{1}}-{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+5{{x}_{4}}=4 \\ & -4{{x}_{1}}+4{{x}_{2}}+{{x}_{3}}=1 \\ \end{align} \right. $$

A = {{1, -1, -1, -3}, {1, -1, 1, 5}, {-4, 4, 1, 0}};
b = {{-2}, {4}, {-1}};
RowReduce[Join[A, b, 2]] // MatrixForm

其中Join函数表示把列向量b添加到系数矩阵A的最后一列, 输出为

$$ \left(\begin{array}{ccccc} 1 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) $$

由于增广矩阵和系数矩阵的秩不相等, 说明这个线性方程组无解.

求矩阵的特征值和特征向量

• 求矩阵的特征值用Eigenvalues函数
• 求矩阵的特征向量用Eigenvectors函数

例

求 $A=\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 2 \\ -2 & -2 & 4 \\ 2 & 4 & -2\end{array}\right]$ 的特征值和特征向量.

A = {{1, -2, 2}, {-2, -2, 4}, {2, 4, -2}}；
Eigenvalues[A]
Eigenvectors[A]

输出结果为

{-7, 2, 2};
{{-1, -2, 2}, {2, 0, 1}, {-2, 1, 0}}