高等数学下综合练习

一、填空题（每小题3分）

1. 求过点 $A(a, 0,0) 、 B(0, b, 0) 、 C(0,0, c)$ 的平面方程为 _________.
2. 已知 $\vec{a}=(2,1,3), \vec{b}=(1,-1,2)$, 则 $\vec{a} \times \vec{b}=$_________.
3. 已知数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(3-u_n\right)$ 收敛, 则有 $\lim _{n \rightarrow \infty} u_n=$ _________.
4. 函数极限 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\sqrt{x^2+y^2+4}-2}{x^2+y^2}=$_________.
5. 设 $z=e^{x y}$, 则 $d z=$_________.
6. 设平面曲线 $L$ 为圆周 $x^2+y^2=\mathbf{R}^2$, 则曲线积分 $\oint_L\left(x^2+y^2\right) d s=$_________.

二、选择题（每小题3分）

1. 函数 $f(x, y)=-\sqrt{x^2+y^2}$ 的极大值为 $(\quad)$
   A. 8
   B. 0
   C. 6
   D. 7
2. 下列级数条件收敛的是$(\quad)$
   A. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n-1}{5^n}$
   B. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1+n}{n^2}$
   C. $\sum_{n=1}^\pi(-1)^n \frac{1}{\sqrt{n}}$
   D. $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \sin \frac{1}{n^2}$
3. 设幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n$ 在 $x=2$ 处收敛, 则该级数在 $x=-1$ 处必定
   A. 发散
   B. 条件收敛
   C. 绝对收敛
   D. 收敛性不能确定
4. 若三重积分的积分区域 $\Omega$ 为 $1 \leq x^2+y^2+z^2 \leq 4$, 则 $\iiint_{\Omega} d x d y d z=$ $(\quad)$
   A. $\frac{28 \pi}{3}$
   B. $\frac{32 \pi}{3}$
   C. $\frac{4 \pi}{3}$
   D. $\frac{7 \pi}{3}$
5. $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 两个偏导数均存在是它在该点可微的$(\quad)$
   A. 充分条件
   B. 必要条件
   C. 允要条件
   D. 既非充分也非必要
6. 直线 $L: \frac{x-2}{3}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-3}{-4}$ 与平面 $\Pi: x+y+z=3$ 的关系是$(\quad)$
   A. 平行
   B. 垂直相交
   C. $\mathrm{L}$ 在 $\Pi$ 上
   D. 相交但不垂直

三、计算下列各题 (本大题共 4 小题, 每小题 7 分, 共 28 分)

1. 已知函数 $z=2 x^3+\sin ^2 y$, 求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}, \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}$.
2. 设 $x^2+y^2+z^2-4 z=0$, 求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$.
3. 设 $z=f\left(x^2+y^2, x y\right)$, 其中 $f$ 具有连续的一阶偏导数, 求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$ 。
4. 设 $z=u v+\sin t, u=e^t, v=\cos t$, 求 $\frac{d z}{d t}$ 。

四、计算下列各题 (本大题共 4 小题, 每小题 6 分, 共 24 分).

1. 计算 $\iint_D\left(x^2+y^2\right) d \sigma$, 其中 $D$ 是由圆周 $x^2+y^2=1$ 所围成的闭区域。
2. 计算 $\iiint_V z d v$, 其中 $V$ 是由曲面 $\sqrt{x^2+y^2}=z$ 与平面 $z=1$ 所围成的闭区域。
3. 计算 $\int_L(2 x+3 y) d s$, 其中 $L$ 为连接 $(1,0),(0,1)$ 两点的直线段。
4. 计算 $\oint_L\left(x^3-y\right) d x+\left(x-y^3\right) d y$, 其中 $L$ 为曲线 $x=2 \cos t, y=2 \sin t$, 方向为逆时针方向。

五、综合应用题 (本题6分)

求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$ 的收敛半径与和函数。

六、证明题 (本题 6 分)

证明曲面 $e^z-z+x y=3$ 在点 $(2,1,0)$ 处的切平面与平面 $x+2 \mathrm{y}=0$ 平行。