问题90: 常见函数的泰勒公式/麦克劳林公式/泰勒级数

$$ \begin{aligned} & e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots+\frac{x^n}{n !}+o\left(x^n\right) \\ & \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+\cdots+x^n+o\left(x^n\right) \\ & \sin x=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-\frac{x^7}{7 !}+\cdots+(-1)^{n+1} \frac{x^{2 n-1}}{(2 n-1) !}+o\left(x^{2 n-1}\right) \\ & \cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{6 !}+\cdots+(-1)^{n+1} \frac{x^{2 n}}{(2 n) !}+o\left(x^{2 n}\right) \\ & \ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots+(-1)^{n+1} \frac{x^n}{n}+o\left(x^n\right) \end{aligned} $$

$$ (1+x)^\alpha=1+ \alpha x \quad+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2 !} \cdot x^2+\ldots+\frac{\alpha(\alpha-1) \ldots(\alpha-n+1)}{ n !} \cdot x^n+o\left(x^n\right) $$

$$ \begin{aligned} \tan x=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(2^{2 n}-1\right) 2^{2 n} B_n}{(2 n) !} x^{2 n-1} \ =x+\frac{1}{3} x^3+\frac{2}{15} x^5+\frac{17}{315} x^7+\cdots \end{aligned} $$

$$ \arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\cdots+\frac{(-1)^n x^{2 n+1}}{2 n+1}+o\left(x^{2 n+1}\right) $$

$$ \begin{aligned} & \sinh x=x+\frac{x^3}{3 !}+\frac{x^5}{5 !}+\frac{x^7}{7 !}+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1) !} \\ & \cosh x=1+\frac{x^2}{2 !}+\frac{x^4}{4 !}+\frac{x^6}{6 !}+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{(2 n) !} \\ & \tanh x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{2 x^5}{15}-\frac{17 x^7}{315}+\cdots=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{2 n}\left(2^{2 n}-1\right) B_{2 n} x^{2 n-1}}{(2 n) !},|x|<\frac{\pi}{2} \end{aligned} $$

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