问题84: 求函数sin3x/cosx在区间(0,π/3)上的最大值

$$ \begin{aligned} & \frac{\sin 3 x}{\cos x} \\ = & \frac{\sin (2 x+x)}{\cos (2 x-x)} \\ = & \frac{\sin 2 x \cos x+\cos 2 x \sin x}{\cos 2 x \cos x+\sin 2 x \sin x} \\ = & \frac{\tan 2 x+\tan x}{1+\tan x \tan 2 x} \\ = & \frac{\frac{2 \tan x}{1-\tan ^2 x}+\tan x}{1+\frac{2 \tan ^2 x}{1-\tan ^2 x}} \\ = & \frac{3 \tan x-\tan ^3 x}{1+\tan ^2 x} \end{aligned} $$

令 $t=\tan x$ ，设 $g(t)=\frac{3 t-t^3}{1+t^2}$ ，则

$$ \begin{aligned} g^{\prime}(t) & =\frac{\left(3-3 t^2\right)\left(1+t^2\right)-2 t\left(3 t-t^3\right)}{\left(1+t^2\right)^2} \\ & =-\frac{t^4+6 t^2-3}{\left(1+t^2\right)^2} \end{aligned} $$

令 $g^{\prime}(t)=0$ ，得 $t^2=\frac{-6 \pm \sqrt{36+12}}{2}=-3 \pm 2 \sqrt{3}$ ，

从而 $t=\sqrt{2 \sqrt{3}-3}$ (负值舍去)

$$ \begin{aligned} g(\sqrt{2 \sqrt{3}-3}) & =\frac{\sqrt{2 \sqrt{3}-3}(3-2 \sqrt{3}+3)}{2 \sqrt{3}-3+1} \\ & =\sqrt{6 \sqrt{3}-9} \end{aligned} $$

容易验证， $t=\sqrt{2 \sqrt{3}-3}$ ，即 $x=\arctan \sqrt{2 \sqrt{3}-3}$ 时，函数 $\frac{\sin 3 x}{\cos x}$ 在 $(0, \pi / 3)$ 取得最大值 $\sqrt{6 \sqrt{3}-9}$

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