问题579: 已知 α,β 满足 α+β=−1,αβ=−4 , 求代数式 α3−5β2+2022 的值.

$\alpha, \beta$ 是方程 $x^2+x-4=0$ 的根，

$$ \begin{aligned} & \text { 即 } \alpha^2+\alpha-4=0, \beta^2+\beta-4=0 \text {, 从而 } \\ & \alpha^3-5 \beta^2=\alpha \cdot(4-\alpha)-5(4-\beta)=4 \alpha-\alpha^2-20+5 \beta \\ & =4 \alpha+5 \beta-20-(4-\alpha)=5(\alpha+\beta)-24=-5-24=-29 \\ & \alpha^3-5 \beta^2+2022=-29+2022=1993 \\ & \end{aligned} $$

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