问题567: 斯特灵公式计算极限

$\begin{aligned} & \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots 2 n}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots(2 n-1)} \cdot \frac{1}{\sqrt{n}} \\ = & \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(n!)^2 \cdot 2^{2 n}}{(2 n)!\cdot \sqrt{n}} \\ = & \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\left(\sqrt{2 \pi n} \cdot\left(\frac{n}{e}\right)^n\right)^2}{\sqrt{4 \pi n}\left(\frac{2 n}{e}\right)^{2 n}} \cdot \frac{2^{2 n}}{\sqrt{n}} \\ = & \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{\pi} \cdot n^{2 n} \cdot 2^{2 n}}{(2 n)^{2 n}} \\ = & \sqrt{\pi}\end{aligned}$

添加微信可以更快获取解答（请注明有偿答疑）