问题412: 如图，△ABC中，∠BAC=60°，D、E分别是边BC、边AC上点，满足∠CDE=2∠BAD,DA=DC,若 BD=1,ED=2,则 AB的长为多少？

这个几何题的目的是要找到三角形 (ABC) 中 (AB) 的长度。首先，让我们总结一下给出的信息：

( \angle BAC = 60^\circ )( D ) 和 ( E ) 分别是 ( BC ) 的内点，且 ( DA = DC ), ( \angle CDE = \angle BAD ).( BD = 1 ), ( DE = 2 ).

要求计算 ( AB ) 的长度。我们可以使用以下步骤来解题：

步骤 1：利用角度信息

由于 ( \angle BAC = 60^\circ ) 且 ( D ) 在 ( BC ) 上使得 ( DA = DC )，则 ( D ) 是 ( BC ) 的中点。因此，( D ) 到 ( B ) 和 ( C ) 的距离相等。

步骤 2：利用线段长度信息

已知 ( BD = 1 ) 且 ( DE = 2 )，且 ( D ) 是 ( BC ) 的中点，所以 ( DC = DB = 1 )。

步骤 3：构建三角形和计算

由于 ( D ) 是 ( BC ) 的中点，那么 ( BC = BD + DC = 1 + 1 = 2 )。

现在，我们已经知道 ( \triangle ABC ) 是一个角 ( BAC ) 为 ( 60^\circ ) 的等腰三角形（因为 ( \angle BAC = 60^\circ )，且 ( DA = DC ) 暗示 ( D ) 在 ( BC ) 的中点），我们可以得出 ( AB = AC )。使用等腰三角形的性质和 ( BC ) 的长度计算 ( AB )。

步骤 4：使用余弦定律或三角形的特性

对于等腰三角形 ( \triangle ABC )，其中 ( \angle BAC = 60^\circ ) 且 ( BC = 2 )，( AB ) 的长度可以通过余弦定律来计算：

$$ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C $$

将 ( a = b = AB ), ( C = 60^\circ ), ( c = 2 ) 代入，得：

$$ 2^2 = AB^2 + AB^2 - 2 \cdot AB \cdot AB \cdot \frac{1}{2} $$

简化后：

$$ 4 = 2AB^2 - AB^2 $$

$$ AB^2 = 4 $$

$$ AB = 2 $$

因此，( AB ) 的长度为 2。