问题411: 定积分计算

这道题涉及积分和递推关系的证明。我们一步步解决各部分问题。

(i) 证明积分关系

首先，我们需要证明：
[
\int_0^1 x^{n-1}(1-x)^n \, dx = \int_0^1 x^n (1-x)^{n-1} \, dx
]
我们可以通过代换来证明这个等式。令 ( u = 1 - x )，那么 ( du = -dx )。积分的限度也随之改变：当 ( x = 0 ) 时， ( u = 1 )；当 ( x = 1 ) 时， ( u = 0 )。

因此，原积分变为：
[
\int_0^1 x^{n-1}(1-x)^n \, dx = \int_1^0 (1-u)^{n-1}u^n (-du) = \int_0^1 u^n (1-u)^{n-1} \, du
]
这正好是 ( \int_0^1 x^n (1-x)^{n-1} \, dx )，因此证明了这个等式。

接下来，我们要推导出：
[
2 \int_0^1 x^{n-1} (1-x)^n \, dx = I_{n-1}
]
由上面的等式，我们知道：
[
\int_0^1 x^{n-1} (1-x)^n \, dx = \int_0^1 x^n (1-x)^{n-1} \, dx
]
因此，
[
2 \int_0^1 x^{n-1} (1-x)^n \, dx = \int_0^1 x^{n-1} (1-x)^n \, dx + \int_0^1 x^n (1-x)^{n-1} \, dx = I_{n-1}
]

最后，我们证明：
[
I_n = \frac{n}{n+1} \int_0^1 x^{n-1}(1-x)^{n+1} \, dx
]
令 ( I_n = \int_0^1 x^n (1-x)^n \, dx )，我们使用分部积分，设 ( u = x^n )，( dv = (1-x)^n dx )，于是 ( du = nx^{n-1} dx )， ( v = -\frac{(1-x)^{n+1}}{n+1} )。我们得到：
[
I_n = \left[ -\frac{x^n (1-x)^{n+1}}{n+1} \right]_0^1 + \int_0^1 \frac{n}{n+1} x^{n-1} (1-x)^{n+1} \, dx
]
边界项为0，所以：
[
I_n = \frac{n}{n+1} \int_0^1 x^{n-1}(1-x)^{n+1} \, dx
]
这证明了所需的公式。

(ii) 证明 ( I_n = \frac{(n!)^2}{(2n+1)!} )

利用递推关系 ( I_n = \frac{n}{2(2n+1)} I_{n-1} )，并结合 ( I_0 = 1 )，我们使用数学归纳法证明。

假设 ( I_k = \frac{(k!)^2}{(2k+1)!} ) 对于 ( k ) 成立，我们需要证明 ( I_{k+1} ) 也满足这个形式：
[
I_{k+1} = \frac{k+1}{2(2(k+1)+1)} I_k = \frac{k+1}{2(2k+3)} \cdot \frac{(k!)^2}{(2k+1)!} = \frac{(k+1)!^2}{(2k+3)!}
]
所以对于所有的正整数 ( n )， ( I_n = \frac{(n!)^2}{(2n+1)!} ) 成立。

(iii) 使用代换 ( x = \sin^2 \theta ) 证明 ( I_{\frac{1}{2}} = \frac{\pi}{8} )

我们需要计算：
[
I_{\frac{1}{2}} = \int_0^1 x^{1/2}(1-x)^{1/2} \, dx
]
用 ( x = \sin^2 \theta ) 替换， ( dx = 2 \sin \theta \cos \theta \, d\theta )，积分限度从 ( \theta = 0 ) 到 ( \theta = \frac{\pi}{2} )。于是变为：
[
I_{\frac{1}{2}} = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin \theta (1 - \sin^2 \theta)^{1/2} 2 \sin \theta \cos \theta \, d\theta = 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 \theta \cos^2 \theta \, d\theta
]
利用 ( \sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta ) 和对称性，我们可以求得：
[
I_{\frac{1}{2}} = 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \theta \sin^2 \theta \, d\theta = 2 \cdot \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{8}
]

计算 ( I_2 )

根据之前的结论：
[
I_2 = \frac{(2!)^2}{(2 \cdot 2 + 1)!} = \frac{4}{5!} = \frac{4}{120} = \frac{1}{30}
]

所以， ( I_2 = \frac{1}{30} )。