问题374: 如何理解施密特正交化过程？

设 $a_1, a_2, \cdots, a_r$ 是向量空间 $V$ 的一组基, 按下面的过程进行计算,就可以得到 $V$ 的一组正交基 $b_1, b_2, \cdots, b_r$：

$$ \begin{aligned} & b_1=a_1 \\ & b_2=a_2-\frac{\left[b_1, a_2\right]}{\left[b_1, b_1\right]} b_1 \\ & b_3=a_3-\frac{\left[b_1, a_3\right]}{\left[b_1, b_1\right]} b_1-\frac{\left[b_2, a_3\right]}{\left[b_2, b_2\right]} b_2 \\ & \ldots \ldots \\ & b_r=a_r-\frac{\left[b_1, a_r\right]}{\left[b_1, b_1\right]} b_1-\frac{\left[b_2, a_r\right]}{\left[b_2, b_2\right]} b_2-\cdots-\frac{\left[b_{r-1}, a_r\right]}{\left[b_{r-1}, b_{r-1}\right]} b_{r-1} \end{aligned} $$

这就是施密特正交化过程。

施密特正交化把线性空间$V$的一组基，转换成了它的一组正交基。但是要理解这个过程就要理解每一项的具体含义。这就涉及到一个概念：投影。

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