如何计算质心(重心)坐标?如何计算形心坐标?

平面内质心的计算

$n$个质点的质心

设在 $xOy$ 平面上有 $n$ 个质点, 它们分别位于点 $\left(x_1, y_1\right),\left(x_2, y_2\right), \cdots$, $\left(x_n, y_n\right)$ 处, 质量分别为 $m_1, m_2, \cdots, m_n$. 由力学知道, 该质点系的质心的坐标 为

$$ \bar{x}=\frac{M_y}{M}=\frac{\sum_{i=1}^n m_i x_i}{\sum_{i=1}^n m_i}, \quad \bar{y}=\frac{M_x}{M}=\frac{\sum_{i=1}^n m_i y_i}{\sum_{i=1}^n m_i}, $$

其中 $M=\sum_{i=1}^n m_i$ 为该质点系的总质量.

如果每个质点的重量都相等, 那么它们的质心(也是形心)坐标就是各个点坐标的平均值.

平面薄片的质心

设有一平面薄片, 占有 $x O y$ 面上的闭区域 $D$, 在点 $(x, y)$ 处的面密度为 $\mu(x, y)$, 假定 $\mu(x, y)$ 在 $D$ 上连续. 现在要找该薄片的质心的坐标.

$$\bar{x}=\frac{M_y}{M}=\frac{\iint_D x \mu(x, y) \mathrm{d} \sigma}{\iint_D \mu(x, y) \mathrm{d} \sigma}, \quad \bar{y}=\frac{M_x}{M}=\frac{\iint_D y \mu(x, y) \mathrm{d} \sigma}{\iint_D \mu(x, y) \mathrm{d} \sigma}$$

如果薄片是均匀的, 即面密度为常量, 则上式中可把 $\mu$ 提到积分记号外面 并从分子、分母中约去, 这样便得均匀薄片的质心(形心)的坐标为

$$ \bar{x}=\frac{1}{A} \iint_D x \mathrm{~d} \sigma, \bar{y}=\frac{1}{A} \iint_D y \mathrm{~d} \sigma, $$

其中 $A=\iint_D \mathrm{~d} \sigma$ 为闭区域 $D$ 的面积

平面曲线的质心

设有一平面曲线$y=f(x)$, 在点 $(x, y)$ 处的线密度为 $\mu(x)$, 则曲线的质心坐标如下:

$$ \bar{x}=\frac{M_y}{M}=\frac{\int_1 x \cdot u(x) d s}{\int_L \mu(x) d s}, \quad \bar{y}=\frac{M_x}{M}=\frac{\int_L y \cdot \mu(x) d s}{\int_L \mu(x) d s} . $$

如果曲线是均匀的, 那么它的质心(形心)为

$$ \bar{x}=\frac{1}{L} \cdot \int_L x d s, \quad \bar{y}=\frac{1}{L} \int_L y d s . $$

三维空间重心的计算

占有空间有界闭区域 $\Omega$ 、在点 $(x, y, z)$ 处的密度为 $\rho(x, y, z)$ (假 定 $\rho(x, y, z)$ 在 $\Omega$ 上连续) 的物体的质心坐标是

$$ \bar{x}=\frac{1}{M} \iiint_{\Omega} x \rho(x, y, z) \mathrm{d} v, \quad \bar{y}=\frac{1}{M} \iiint_{\Omega} y \rho(x, y, z) \mathrm{d} v, \quad \bar{z}=\frac{1}{M} \iiint_{\Omega} z \rho(x, y, z) \mathrm{d} v, $$

其中 $M=\iiint_\Omega \rho(x, y, z) \mathrm{d} v$.

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