问题224: 如图 , 等边三角形 ABC 内接于圆 O , 点 P 为 ABˆ 上一动点, 连接 AP、BP、CP,求证: AP+BP=CP ;当 S△ACP=2S△APB 时, 求 ∠BCP 的度数.

如图 , 等边三角形 $A B C$ 内接于圆 $O$, 点 $P$ 为 $\widehat{A B}$ 上一动点, 连接 $A P 、 B P 、 C P$.
(1) 求证: $A P+B P=C P$;
(2) 当 $S_{\triangle A C P}=2 S_{\triangle A P B}$ 时, 求 $\angle B C P$ 的度数.

好题 · 已解决 · 初中数学全等三角形 · 圆的性质
提问于3月22日 · 阅读 415

解答

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(1) 延长 AP 到 D 使 AD=CP , 连接BD.
∵三角形ABC是正三角形
∴BA = BC
∵∠DAB = ∠PCB(同弧所对圆周角相等)
∴三角形DAB≌三角形PCB(SAS)
∴BD = BP
∵∠BPC = ∠BAC = 60°, ∠APC = ∠ABC=60°(同弧所对圆周角相等)
∴∠DPB = 180° - ∠BPC - ∠APC = 60°
∴三角形PDB是正三角形
∴PB = PD
∴ PC = AD = AP + PD = AP + PB
(2)延长CB,AP交于点E.
∵三角形APC和三角形APB同底AP, 且三角形APC面积是APB面积的2倍
∴C到AP的距离是B到AP距离的两倍
∴B是CE中点
∴BA = BC = BE
又∵∠ABE = 180° - ∠ABC = 120°
∴∠BEA = ∠BAE = (180° - ∠ABE)/2 = 30°
∴∠BCP = ∠BAP= 30°