∑_1 ≤ h ≤∞ h ·(1 / 2)^h=2

由于

$$ 1+x+x^2+x^3 \cdots+x^n+\cdots=\frac{1}{1-x} $$

两边求导 $1+2 x+3 x^2+\cdots+n x^{n-1}+\cdots=\frac{1}{(1-x)^2}$
两边乘以$x$得$x +2 x^2+3 x^3+\cdots+n x^n+\cdots=\frac{x}{(1-x)^2}$

即 $\frac{x}{(1-x)^2}=\sum_{h=1}^{\infty} h x^h$
令$x=\frac {1}{2}$, $\frac{\frac{1}{2}}{\left(1-\frac{1}{2}\right)^2}=\sum_{h=1}^{\infty} h\left(\frac{1}{2}\right)^h$
即 $\sum_{1 \leqslant h=\infty} h\left(\frac{1}{2}\right)^h=2$

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