问题175: 2017的2017次方的最后兩位数字是什么？

由于$100=10^2=2^2 \cdot 5^2$, 从而欧拉数$\varphi(100)=\left(2^2-2\right) \cdot\left(5^2-5\right)=40$,
由欧拉定理$17^{40} \equiv 1(\bmod (100)$,
从而

$$ \begin{aligned} 2017^{2017} & \equiv 17^{2017}(\bmod 100) \\ & \equiv 17^{17}(\bmod 100) \\ & \equiv 17 \cdot\left(17^2\right)^8(\bmod 100) \\ & \equiv 17 \cdot(89)^8(\bmod 100) \\ & \equiv 17 \cdot(-11)^8 \bmod 100 \\ & \equiv 17 \cdot(121)^4 \bmod 100 \\ & \equiv 17 \cdot\left(21^2\right)^2 \bmod 100 \\ & \equiv 17 \cdot 41^2 \bmod 100 \\ & \equiv 17 \cdot 81 \bmod 100 \\ & \equiv 77 \bmod 100 \end{aligned} $$

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