设R为幂级数∑_n=1^∞ a_n x^n 的收敛半径, r是实数,则( )

分析

本问题考察幂级数收敛判定，解答本题需要知道以下几点：

1. 根据阿贝尔定理，$r < R$时，原级数必定绝对收敛，$r > R$时，原级数必定发散。$r=R$时，级数的收敛性不能确定。
2. 绝对收敛的级数必收敛。
3. 收敛的正项级数的子级数必收敛。

由以上三点，我们可以发现：

幂级数子级数的收敛半径一定不小于原级数的收敛半径。

解答

A. 如果$x=r<R$,那么原级数必绝对收敛，从而它的子级数也是绝对收敛，这样子级数就收敛。因此当子级数发散的时候，必有$r \ge R$。

B. 当$x=r>R$时，原级数发散，原级数的子级数也有可能发散。

C. 如果$a_{2n}=0$，那么即便$|r| \ge R$，子级数也可能收敛。

D. 当$|r| = R$时，原级数的收敛性不能确定，从而子级数的收敛性也无法确定。例$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{n}$，它的收敛半径是1，当$x=r=1$时，子级数是调和级数的偶数项，发散。

当然直接根据“ 幂级数子级数的收敛半径不小于原级数的收敛半径”，我们可以直接发现A选项是正确的。

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