求极限lim e^x sin x-x(1+x)/x^2 sin x

分析

本问题有多种解法。

思路一：直接泰勒展开$e^x$和$\sin x$。

思路二：等价替换后洛必达法则。

思路三：分子凑成3阶无穷小的和，再拆成极限的和。

思路四：分子分母同时除以$e^x$再泰勒展开

解答

解法一【直接泰勒展开】、

$$ \begin{aligned} & \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^x \sin x-x(1+x)}{x^2 \sin x} \\ =&\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(1+x+\frac{1}{2} x^2+\frac{x^3}{6}+o\left(x^3\right)\right) \cdot \left(x-\frac{1}{6} x^3+o\left(x^3\right)\right)-x(1+x)}{x^3} \\ =& \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\right) x^3+o\left(x^3\right)}{x^3} \\ =& \frac{1}{3}\end{aligned} $$

解法二【等价替换后洛必达法则】、

$$ \begin{aligned} & \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^x \sin x-x(1+x)}{x^2 \sin x} \\ & =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^x \sin x-x(1+x)}{x^3} \\ & =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^x(\sin x+\cos x)-2 x-1}{3 x^2} \\ & =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^x \cdot 2 \cos x-2}{6 x} \\ & =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^x\left(\cos x-\sin x\right)}{3} \\ & =\frac{1}{3}\end{aligned} $$

解法三【分子凑成3阶无穷小的和】、

$$ \begin{aligned} & \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^x \sin x-x(1+x)}{x^2 \sin x} \\ = & \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^x(\sin x-x)+x\left(e^x-x-1\right)}{x^3} \\ = & \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^x\left( \sin x-x\right)}{x^3}+\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^x-x-1}{x^2} \\ = & \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x-1}{3 x^2}+\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^x-1}{2 x} \\ = & \lim _{x \rightarrow 0} \frac{-\sin x}{6 x}+\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^x}{2} \\ = & -\frac{1}{6}+\frac{1}{2} \\ = & \frac{1}{3}\end{aligned} $$

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