设 f(x)=lim x^2 n-1+a x^2+b x/x^2 n+1 是连续函数, 求 a 和 b 的值.

分析

本问题考察函数的连续性以及数列极限知识点。

本问题根据$x$的与1的大小关系对$x$分类讨论，对固定的$x$, 求极限计算函数的分段表达式，然后利用函数连续性的定义列出含有$a,b$的关系式，计算出$a,b$的值。

解答

对 $x$ 分情况讨论.

1) $ f(1) \\ =\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^{2 n-1}+a \cdot 1^2+b \cdot 1}{1^{2 n}+1} \\=\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1+a+b}{1+1} \\=\frac{a+b+1}{2}$

2) $ f(-1)\\= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(-1)^{2 n-1}+a \cdot(-1)^2+b \cdot(-1)}{(-1)^{2 n}+1}\\=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{-1+a-b}{1+1}\\=\frac{a-b-1}{2}$

3) $ |x|<1, \\f(x)\\=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x^{2 n-1}+a x^2+b x}{x^{2 n}+1}\\=\frac{0+a x^2+b x}{0+1}\\=a x^2+b x$

4) $|x|>1, f(x)\\=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{x}+a x^{2-2 n}+b x^{1-n}}{1+\frac{1}{x^{2 n}}}\\=\frac{\frac{1}{x}+0+0}{1+0}\\=\frac{1}{x}$

首先，函数$f(x)$在 $x=1$ 处连续， 且 $\lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)=\frac{1}{1}=1, \lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=a \cdot 1^2+b \cdot 1=a+b, f(1)=\frac{a+b+1}{2}$，从而$1=a+b=\frac{a+b+1}{2}$【左极限=右极限=函数值】.

其次，函数$f(x)$在 $x=-1$ 处连续，且
$\lim _{x \rightarrow -1^{+}} f(x)=a \cdot(-1)^2+b \cdot(-1)=a-b$,
$\lim _{x \rightarrow-1^{-}} f(x)=\frac{1}{-1}=-1$，
$f(-1)=\frac{a-b-1}{2}$，故而 $a-b=-1=\frac{a-b-1}{2}$.

联立上式，可得
$\left\{\begin{array}{l}a+b=1 \\ a-b=-1\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}a=0 \\ b=1\end{array}\right.\right.$

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