问题122: 设 a>2 , 给定数列 {xn} , 其中 x1=a, xn+1=xn^2/2(xn−1), (n=1,2⋯) 求证:

设 $a>2$, 给定数列 $\left\{ x _{ n }\right\}$, 其中 $x _1=a$, $x_{n+1}=\frac{x_n^2}{2\left(x_n-1\right)}(n=1,2 \cdots)$ 求证:

1. $x_n>2$, 且 $\frac{x_{n+1}}{x_n}<1(n=1,2 \cdots)$;
2. 如果 $a \leq 3$, 那么 $x_n \leq 2+\frac{1}{2^{n-1}}(n=1,2 \cdots)$;
3. 如果 $a>3$, 那么当 $n \geq \frac{\lg \frac{a}{3}}{4}$ 时, 必有 $x_{n+1}<3$.