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问题

问题110: 记 σ(k) 为正整数 k 的所有正约数之和。设 n 为正整数, 求证: ∑σ(k)=∑k⌊n/k⌋.


σ(k) 为正整数 k 的所有正约数之和。设 n 为正整数, 求证: nk=1σ(k)=nk=1knk

Denote by σ(k) the sum of all positive divisors of positive integer k. For any positive integer n, prove that nk=1σ(k)=nk=1knk.

設 σ(k) 為正整數 k 的所有正約數之和,求證:∑σ(k)=∑k⌊n/k⌋

已解决 · 初等数论 求和换序 · 正约数之和
提问于2024年01月19日 · 阅读 323

解答

分析

因为σ(k) 是 k 的所有因子的和, 因此考虑交换求和符号的顺序来证明这个问题. 例如n=6时, 我们列一个6×6的数据表, 其中第k行所有的非零元素都是k的因子.

1 0 0 0 0 0 
1 2 0 0 0 0
1 0 3 0 0 0 
1 2 0 4 0 0 
1 0 0 0 5 0
1 2 3 0 0 6

这样, 按照行相加恰好就是要证明等式的左边, 按照列相加, 恰好就是要证明等式的右边.

详解

定义函数f(j,k)={1,jk0,jk, 则

nk=1σ(k)=nk=1nj=1jf(j,k)=nj=1nk=1jf(j,k)=nj=1jnk=1f(j,k)=nj=1jnj=nk=1knk


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最后修改于2024年01月22日

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