极坐标系下如何计算曲线的切线方程？

分析

本问题关键在于求出切线的斜率，但是要注意切线斜率是直角坐标系下的$dy/dx$而不是$dr/d \theta$.

解答

由于

$$\begin{aligned} &\frac{d y}{d x} \\ = &\frac{d r \sin \theta}{d r \cos \theta}\\ = &\frac{\sin \theta d r+r \cos \theta d \theta}{\cos \theta d r-r \sin \theta d \theta} \\ = &\frac{r^{\prime}\sin \theta +r \cos \theta}{r^{\prime}\cos \theta -r \sin \theta} \end{aligned}$$

当$\theta=\frac{\pi}{2}$时，$r=2, r'=2*\sin \theta = 2$，从而切线斜率为$\frac{d y}{d x}=\frac{2}{-2}=-1$。
对应点为$(0, 2)$,从而切线方程为$y=-x+2$.

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