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问题四、已知级数$\sum_{12}{\frac{a_n}{ln n}}$收敛,$na*n$单减,证明$\lim*{n \to \infty }na_nlnln{n}=0$

证明思路,主要利用结论:对正项级数而言,当$a_n$单减时,$\sum{a*n}$和$\sum{2^n·{a*{2^n}}}$敛散性相同。反复利用此结论,再用夹逼准则可证之。

证明:

1.易证$a_n\geq 0$,且$na_n$单减收敛于0,

2.令$b_n=na_n$,则问题可以重述为:已知级数$\sum{\frac{b_n}{nln n}}$收敛,$bn$单减收敛于0,证明$lim{n \to \infty } b_nlnln{n}=0$

3.利用结论可以证明以下级数均收敛:

$\sum{\frac{b_n}{nln n}}$

$\sum{\frac{b_{2^n}}{n}}$

$\sum b_{2^{2^n}}$

$\sum 2^n b_{2^{2^{2^n}}}$

从而 $\lim*{n\to \infty }2^nb*{2^{2^{2^n}}}=0$

4.另外,充分利用$b_n$的单减性,夹逼准则和放缩法,可以说明以下极限关系成立

$0\leq \lim_{n \to \infty }b_nlnln_n$

5.由此知$lim_{n \to \infty }na_nlnln n=0$。

证明思路不是很难,但步骤有点繁琐,却不知有没有更简单的方法。

2011年南开大学数学分析考研试题